Sei X ein topologischer Raum, I = [a,b] ein reelles Intervall. Ist f: I -> X eine stetige Funktion, dann heißt f ein Weg in X. Die Bildmenge f(I) heißt Kurve in X.

Die Punkte f(a) und f(b) heißen Anfangspunkt und Endpunkt der Kurve.

Ein Weg f heißt geschlossener Weg, wenn f(a)=f(b) ist. Ein geschlossener Weg liefert eine stetige Abbildung vom Einheitskreis S¹ nach X.

Ein Weg f heißt einfacher Weg, wenn f injektiv ist, mit der Ausnahme, dass f(a)=f(b) zugelassen ist. Ein einfacher Weg heißt auch Jordan-Weg.

Diese Definition umfasst das, was wir uns intuitiv unter einer "Kurve" vorstellen: Eine zusammenhängende geometrische Figur, die "wie eine Linie" ist (eindimensional). Aber es gibt auch Kurven, die nicht intuitiv so genannt werden würden.

Man muss zwischen einem Weg und einer Kurve (dem Bild eines Weges) unterscheiden. Zwei verschiedene Wege können dasselbe Bild haben. Häufig sind wir jedoch ca. an dem Bild interessiert, und bezeichnen dann den Weg eine Parametrisierung der Kurve.

Wenn es zu einer Kurve eine Parametrisierung gibt, die ein Jordan-Weg ist, dann bezeichnet man die Kurve eine Jordan-Kurve, ebenso für geschlossene Kurve.

Der Graph einer stetigen Funktion h: [a, b] -> X ist eine Jordan-Kurve in R×X. Eine Parametrisierung ist der Jordan-Weg

f:[a,b] -> R×X, f(t) = (t, h(t)).

Dabei wird auf R×X die Produkttopologie benutzt.

Der Einheitskreis ist eine geschlossener Jordan-Kurve.

Ist X ein metrischer Raum mit Metrik d, dann können wir die Länge L eines Weges f in X definieren:

Ein rektifizierbarer Weg ist ein Weg mit endlicher Länge. Jeder stückweise stetig differenzierbare Weg ist rektifizierbar und seine Länge ist das Integral über den Betrag der Ableitung (sozusagen die Geschwindigkeit):

Die Koch-Kurve ist ein Beispiel eines nicht rektifizierbaren Weges.

Ein fraktaler Weg ist ein Weg mit gebrochener Dimension. Da es verschiedene Definitionen der gebrochenen Dimension gibt, gibt es also auch verschiedene Definition eines fraktalen Wegs. Typische Beispiele sind die Koch-Kurve und die Drachenkurve.

Auch in der algebraischen Geometrie definiert man Kurven, z.B. elliptische Kurven, die haben jedoch mit dem hier beschriebenen Begriff ca. am Rande zu tun.